第十七讲：多元函数积分学的预备知识
第十七讲：多元函数积分学的预备知识
一、向量代数
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既有大小又有方向的量称为向量
\vec{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k} -
运算
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数量积
设 \vec{a} = (a_x, a_y, a_z), \vec{b} = (b_x, b_y, b_z), \vec{c} = (c_x, c_y, c_z)。
- \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z
- \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\cdot\vert\overrightarrow{b}\vert\cdot\cos\theta,\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert}
- 若\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b},则\theta=0
- \text{Pr}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}, \quad \text{即 } \vec{a} \text{ 在 } \vec{b} \text{ 上的投影}
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向量积
- $\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
a_x & a_y & a_z \
b_x & b_y & b_z
\end{vmatrix},|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta, \quad \text{用右手定则确定方向}$ - \vec{a} \parallel \vec{b} \iff \theta = 0 \text{ 或 } \pi \iff \frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{a_z}{b_z}
- 混合积
- $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} =
\begin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \
b_x & b_y & b_z \
c_x & c_y & c_z
\end{vmatrix}$ - 若[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0 \iff \text{三向量共面}
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方向角和方向余弦
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方向角：非零向量 \vec{a} 与 x 轴、y 轴和 z 轴正向的夹角 \alpha, \beta, \gamma 称为 \vec{a} 的方向角。
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方向余弦：\cos\alpha,\cos\beta,\cos \gamma 称为\overrightarrow{a}的方向余弦,且\cos \alpha = \frac{a_x}{|\vec{a}|}, \quad \cos \beta = \frac{a_y}{|\vec{a}|}, \quad \cos \gamma = \frac{a_z}{|\vec{a}|}
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单位向量：\vec{a}_0 = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)
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任意向量表示：\vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k} = r (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)
其中，\cos \alpha = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}, \quad \cos \beta = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}, \quad \cos \gamma = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}
二、空间平面与直线
1、平面方程
设平面的法向量为 \vec{n} = (A, B, C)。
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一般式：
Ax + By + Cz + D = 0 -
点法式：
A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 -
三点式（不常用）：
\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\ x - x_3 & y - y_3 & z - z_3 \end{vmatrix} = 0(平面过不共线的三点)
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截距式：
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1（平面过 (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)三点）
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平面束方程：
设 \pi_i: A_i x + B_i y + C_i z + D_i = 0, i = 1, 2，且 A_1, B_1, C_1 与 A_2, B_2, C_2 不成比例，则过 \pi_1 和 \pi_2 的平面方程为：A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 + \lambda (A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2) = 0
2、直线方程
设直线的方向向量为 \vec{s} = (l, m, n)。
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一般式：
\begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 \end{cases} -
点向式：
\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n} -
参数方程：
\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases} -
两点式：
\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}
3、位置关系
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点到直线的距离
点 M_1(x_1, y_1, z_1) 到直线 L: \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n} 的距离为：d = \frac{| \vec{s} \times \overrightarrow{M_0 M_1} |}{|\vec{s}|}
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点到平面的距离
设点 P_0(x_0, y_0, z_0) 到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的距离为：d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
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直线与直线
设 \vec{s}_1 = (l_1, m_1, n_1), \vec{s}_2 = (l_2, m_2, n_2) 分别为直线 L_1, L_2 的方向向量。
①L_1 \perp L_2 \iff \vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2 = l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0
②L_1 \parallel L_2 \iff \frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}
③\theta = \arccos \frac{|\vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2|}{|\vec{s}_1| |\vec{s}_2|}
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平面与平面
设平面 \pi_1, \pi_2 的法向量分别为 \vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1), \vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2)。
①\pi_1 \perp \pi_2 \iff \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0
②\pi_1 \parallel \pi_2 \iff \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}
③\theta = \arccos \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}
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平面与直线
设直线 L 的方向向量为 \vec{s} = (l, m, n)，平面 \pi 的法向量为 \vec{n} = (A, B, C)。
①L \perp \pi \iff \vec{s} \parallel \vec{n} \iff \frac{l}{A} = \frac{m}{B} = \frac{n}{C}
②L \parallel \pi \iff \vec{s} \perp \vec{n} \iff Al + Bm + Cn = 0
③\theta = \arcsin \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| |\vec{n}|}
三、空间曲线与曲面
1、空间曲线
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一般式：
\Gamma: \begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}（两个曲面交线）
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参数方程：
\Gamma: \begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \\ z = \omega(t) \end{cases}, \quad t \in [a, b] -
在坐标面上的投影
消去 \Gamma: \begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases} 中的 z，得到 \Phi(x, y) = 0。
2、空间曲面
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曲面方程：
F(x, y, z) = 0 -
二次曲面
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柱面
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旋转曲面
对于曲线 \Gamma: \begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}，绕直线 L=\frac{x-x_{0}}{l}=\frac{y-y_{0}}{m}=\frac{z-z_{0}}{n} 旋转一周形成的旋转曲面。设直线 L 上一点 M_0(x_0, y_0, z_0)，方向向量为 \vec{s} = (l, m, n)。
对于旋转曲面上任一点 M，其绕轴的一点 P(x, y, z) 满足：\overrightarrow{MP} \perp \vec{s}, \quad |\overrightarrow{M_0 P}| = |M_0 M|
以下是根据您的数学笔记整理的 Markdown 格式内容，公式使用 LaTeX 表示：
四、 多元函数微分学的几何应用
1. 空间曲线的切线与法平面
(1) 用参数方程给出曲线：
其中 x(t), y(t), z(t) 在区间 I 上可导且不同时为零，则曲线在点 P_0(x_0, y_0, z_0) 处的切向量为：
- 切线方程：
- 法平面方程：
(2) 用方程组给出曲线：
若 $\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}=\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial F}{\partial y} & \frac{\partial F}{\partial z} \
\frac{\partial G}{\partial y} & \frac{\partial q}{\partial z}
\end{array}\right| \neq 0，则可以确定 \begin{cases}
x=x \
y=y(x) \
z=z(x) &
\end{cases}$
- 其在P(x_0,y_0,z_0)处的切向量：
- 切线方程：
- 法平面方程：
2. 空间曲面的切平面与法线
设 F(x, y, z) = 0，其中 F 的一阶偏导数连续。
- 在点 P_0(x_0, y_0, z_0) 处的法向量为：
- 切平面方程：
- 法线方程：
五、讨论初步
场：空间区域$$上的一种对应法则，比如温度场（空间内，某点的温度）
无方向：数量场 有方向：向量场
1. 方向导数
设三元函数 u = u(x, y, z) 在点 P_0(x_0, y_0, z_0) 的某空间邻域 U \subset \mathbb{R}^3 有定义，L 为从 P_0 发出的射线，P(x, y, z) 为 L 上且在 U 内的一点，则：
若极限
存在，则称此极限为函数 u = u(x, y, z) 在点 P_0 沿方向 \vec{l} 的方向导数，记作 \frac{\partial u}{\partial \vec{l}}|_{P_0}。
设 u = u(x, y, z) 在点 P_0(x_0, y_0, z_0) 处可微，则 u 在点 P_0 处沿任意方向 \vec{l} 的方向导数都存在，且：
2. 梯度
设三元函数 u = u(x, y, z) 在点 P_0(x_0, y_0, z_0) 处具有一阶连续偏导数，则定义：
为函数 u = u(x, y, z) 在点 P_0 的梯度。
3. 方向导数与梯度的关系
设 \theta 为 \text{grad } u|_{P_0} 与方向 \vec{l} 的夹角，则：
- 当 \theta = 0 时，\frac{\partial u}{\partial \vec{l}}|_{P_0} = \vec{\operatorname{grad}}u|_{p_0}\cdot\vec{l^0} =|\vec{\operatorname{grad}} u_0|_{P_0}\cdot\cos\theta|，有最大值；
- 当 \theta = \frac{\pi}{2} 时，\frac{\partial u}{\partial \vec{l}}|_{P_0} = 0，即变化率为 0。
函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模为方向导数的最大值。
4. 散度
定义向量场 A = A(x, y, z) = P(x, y, z) \vec{i} + Q(x, y, z) \vec{j} + R(x, y, z) \vec{k}，则散度为：
5. 旋度
定义向量场 A = A(x, y, z) = P(x, y, z) \vec{i} + Q(x, y, z) \vec{j} + R(x, y, z) \vec{k}，则旋度为：