第十八讲：多元函数积分学
第十八讲：多元函数积分学
一、三重积分
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概念（参考二重积分）
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, dV = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta V_i若 f(x, y, z) 在 \Omega 上连续，则三重积分 \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, dV 一定存在。
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性质
- \iiint_{\Omega} 1 \, dV = V
- 可积必有界
- 设 k_1, k_2 为常数，则
\iiint_{\Omega} [k_1 f(x, y, z) \pm k_2 g(x, y, z)] \, dV = k_1 \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, dV \pm k_2 \iiint_{\Omega} g(x, y, z) \, dV
- 若 \Omega_1 \cup \Omega_2 = \Omega ， \Omega_1 \cap \Omega_2 = \emptyset ，则
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, dV = \iiint_{\Omega_1} f(x, y, z) \, dV + \iiint_{\Omega_2} f(x, y, z) \, dV
- 若在 \Omega 上 f \leq g ，则
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, dV \leq \iiint_{\Omega} g(x, y, z) \, dV, \quad \left| \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, dV \right| \leq \iiint_{\Omega} |g(x, y, z)| \, dV
- 若 m, M 分别是 f(x, y, z) 在 \Omega 上的最大值和最小值， V 为 \Omega 的体积，则
mV \leq \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, dV \leq MV
- 若 f(x, y, z) 在 \Omega 上连续， V 为 \Omega 的体积，则存在一点 (\xi, \eta, \zeta) 使得
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, dV = f(\xi, \eta, \zeta) V
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普通对称性与轮换对称性
参考二重积分
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计算
(1)直角坐标系
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先一后二法
- 若 \Omega 有上下曲面 z = z_2(x, y) ， z = z_1(x, y) ，则
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, dV = \iint_{D_{xy}} \int_{z_1}^{z_2} f(x, y, z) \, dz \, dA
- 若 \Omega 有上下曲面 z = z_2(x, y) ， z = z_1(x, y) ，则
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先二后一法
- 若 \Omega 是旋转体，旋转曲面方程为 z = z(x, y) ，则
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, dV = \int_a^b dz \iint_{D_z} f(x, y, z) \, dA
- 若 \Omega 是旋转体，旋转曲面方程为 z = z(x, y) ，则
(2)柱面坐标系
令
\begin{cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{cases}则
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \iiint_{\Omega} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) \, r \, dr \, d\theta \, dz(3)球面坐标系
令
\begin{cases} x = r \sin \varphi \cos \theta \\ y = r \sin \varphi \sin \theta \\ z = r \cos \varphi \end{cases}, \quad dV = r^2 \sin \varphi \, dr \, d\varphi \, d\theta, \quad \theta \in [0, 2\pi], \quad \varphi \in [0, \pi](4)换元法
对于
\iiint_{\Omega_{xyz}} f(x, y, z) \, dx \, dy \, dz令
\begin{cases} x = x(u, v, w) \\ y = y(u, v, w) \\ z = z(u, v, w) \end{cases}则
\iiint_{\Omega_{xyz}} f(x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \iiint_{\Omega_{uvw}} f[x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)] \left| \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} \right| \, du \, dv \, dw其中
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix} -
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应用
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体密度为 p(x, y, z) ， \Omega 是物体所占的空间区域，重心为 \bar{x}
\bar{x} = \frac{\iiint x \, p(x, y, z) \, dV}{\iiint p(x, y, z) \, dV} -
体密度 p(x, y, z)
- 转动惯量 I = mr^2
- 转动惯量 I_x = \iiint (y^2 + z^2) p(x, y, z) \, dV
- 转动惯量 I_o = \iiint (x^2 + y^2 + z^2 ) p(x, y, z) \, dV
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引力 (F_x, F_y, F_z)
F = G \frac{Mm}{R^2}F_x = GM \iiint \frac{p(x, y, z)(x - x_0)}{\left[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2\right]^{\frac{3}{2}}} \, dV, \\\quad \text{方向为 } \frac{(x - x_0)}{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2}}
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二、第一型曲线积分
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概念
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设 L 为 xOy 面内的一条光滑曲线弧
\int_L f(x, y) \, ds = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i\int_L f(x, y, z) \, ds = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta s_i
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性质
- \int_L 1 \, ds = l_L
- 可积必有界
- 设 k_1, k_2 为常数，则
\int_L [k_1 f(x, y, z) \pm k_2 g(x, y, z)] \, ds = k_1 \int_L f(x, y, z) \, ds \pm k_2 \int_L g(x, y, z) \, ds
- 若 L_1 \cup L_2 = L ， L_1 \cap L_2 = \emptyset ，则
\int_L f(x, y, z) \, ds = \int_{L_1} f(x, y, z) \, ds + \int_{L_2} f(x, y, z) \, ds
- 若在 L 上 f \leq g ，则
\int_L f(x, y, z) \, ds \leq \int_L g(x, y, z) \, ds
- 若 m, M 分别是 f(x, y, z) 在 L 上的最大值和最小值， l 为 L 的长度，则
ml \leq \int_L f(x, y, z) \, ds \leq Ml
- 中值定理
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普通对称性与轮换对称性
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计算
- 平面情况
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若 y = y(x) ， a \leq x \leq b ，则
ds = \sqrt{1 + y'^2} \, dx\int_L f(x, y) \, ds = \int_a^b f(x, y(x)) \sqrt{1 + y'^2} \, dx -
若 \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} ， a \leq t \leq b ，则
ds = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt\int_L f(x, y) \, ds = \int_a^b f(x(t), y(t)) \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt -
若 r = r(\theta) ，则
ds = \sqrt{r^2 + r'^2} \, d\theta\int_L f(x, y) \, ds = \int_{\alpha}^{\beta} f(r(\theta) \cos \theta, r(\theta) \sin \theta) \sqrt{r^2 + r'^2} \, d\theta
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- 空间情况
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若 \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases} ， a \leq t \leq b ，则
ds = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} \, dt\int_L f(x, y, z) \, ds = \int_a^b f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} \, dt
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- 平面情况
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应用
(1)弧长
空间光滑曲线 \Gamma ：\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}, \quad (\alpha \leq t \leq \beta)L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2} \, dt(2)线密度 p(x, y, z)
\bar{x} = \frac{\int_L x \, p(x, y, z) \, ds}{\int_L p(x, y, z) \, ds}(3)转动惯量
I_x = \int_L (y^2 + z^2) p(x, y, z) \, ds
三、平面第二型曲线积分
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概念
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设 F(x, y) = P(x, y) \overrightarrow{i} + Q(x, y) \overrightarrow{j}
\int_L F(x, y) \cdot d\mathbf{r} = \int_L P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy可以看作力 F 在平面曲线 L 上从起点移动到终点所做的总功。
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性质
- 设 k_1, k_2 为常数，则
\int_L [k_1 F_1(x, y) \pm k_2 F_2(x, y)] \cdot d\mathbf{r} = k_1 \int_L F_1 \cdot d\mathbf{r} \pm k_2 \int_L F_2 \cdot d\mathbf{r}
- 积分的有向性
\int_{AB} F \cdot d\mathbf{r} = -\int_{BA} F \cdot d\mathbf{r}
- 当 \stackrel\frown{AC} = \stackrel\frown{AB} + \stackrel\frown{BC} 时，
\int_{AC} F \cdot d\mathbf{r} = \int_{AB} F \cdot d\mathbf{r} + \int_{BC} F \cdot d\mathbf{r}
- 设 k_1, k_2 为常数，则
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计算
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基本方法：化为定积分
- 若 \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} ， a \leq t \leq b ，则
\int_L P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy = \int_a^b \left[ P(x(t), y(t)) x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t) \right] dt
- 若 y = y(x) ，则
\int_L P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy = \int_a^b \left[ P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) y'(x) \right] dx
- 若 \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} ， a \leq t \leq b ，则
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格林公式
设平面有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 围成， P(x, y) ， Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数。
若 L 取正向，则
\oint_L P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA- 曲线封闭且无奇点在其内部，直接用格林公式
- 非封闭曲线且 \frac{\partial Q}{\partial x} \neq \frac{\partial P}{\partial y} ，可补线使其封闭
- 曲线封闭但有奇点在其内部，且除去奇点外 \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} ，则换路径
- 平面曲线积分与路径无关
① 概念：在区域 D 内，任取曲线 L 从 A 到 B，若 \int_{L_1} P dx + Q dy = \int_{L_2} P dx + Q dy，
则称积分与路径无关。② 条件：充要条件是 \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} （或存在函数 u(x, y)，使得 \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy）
③ 计算 ： 按折线 (x_0, y_0) \to (x, y_0) \to (x, y) 计算
若 D 是单连通区域，且 P, Q 有一阶连续偏导数，
以下命题等价：
① \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}
② \oint_L P dx + Q dy = 0
③ 积分与路径无关
④ du = P dx + Q dy
⑤ P dx + Q dy = 0 是全微分方程
⑥ (P, Q) 是某二元函数 u 的梯度四、第一型曲面积分
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概念:\iint_{\sum} f(x, y, z) \, dS = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta S_i
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性质:① \iint_{\sum} 1 \, dS = S② 积分与参数无关③ 线性性质④ 可加性⑤ 保不等式⑥ 估值定理⑦ 中值定理
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对称性: 参考二重积分.
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计算: 一投、二代、三计算
- dS = \sqrt{1 + (z'_x)^2 + (z'_y)^2} \, dx dy = \sqrt{1 + (x_y')^2 + (x_z')^2} \, dy dz = \sqrt{(y_x')^2 + (z_x')^2 + 1} \, dx dy
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应用:① 面积: A = \iint_{\mathrm{Dxy}} \sqrt{1 + (z_x')^2 + (z_y')^2} \, dx dy② 重心 (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}):\bar{x} = \frac{\iint_{\sum} x \rho(x,y,z) \, dS}{\iint_{\sum} \rho(x,y,z) \, dS}③ 转动惯量: J_x = \iint_{\sum} (y^2 + z^2) \rho(x,y,z) \, dS
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几种常见 dS 值:
① 柱面 x^2 + y^2 = a^2 的 dS = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx dz
② 球面 x^2 + y^2 + z^2 = a^2 的 dS = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} \, dx dy
③ 锥面 z = \sqrt{x^2 + y^2} 的 dS = \sqrt{2} \, dx dy
五、第二型曲面积分
- 向量场的通量:\vec{F}(x,y,z) = P(x,y,z) \vec{i} + Q(x,y,z) \vec{j} + R(x,y,z) \vec{k}则 \oint_{\sum} \vec{F} \cdot \vec{ds} = \iint_{\sum} \vec{F} \cdot \vec{n}_0 \, dS其中 \vec{n}_0 = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)
- 定义:\oint_{\sum} [P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dzdx + R(x,y,z) dxdy] \,\, 是向量函数 \vec{F}(x,y,z) 通过曲面 \Sigma 的通量.
- 性质:① 线性性质② 方向性: \oint_{- \Sigma} \vec{F} \cdot \vec{ds} = - \oint_{\Sigma} \vec{F} \cdot \vec{ds}，\sum^- 为 \Sigma 的另一侧，流入为负，流出为正③ 可加性
- 计算:① 化为二重积分:\iint_{\sum} [P(x,y,z) dy dz + Q(x,y,z) dz dx + R(x,y,z) dx dy]= \iint_{\mathcal{D}_{yz}} P(x,y,z) \, dy dz + \iint_{\mathcal{D}_{zx}} Q(x,y,z) \, dz dx + \iint_{\mathcal{D}_{xy}} R(x,y,z) \, dx dy② 投影到相应坐标面上③ 换元④ 转换投影法设曲面 \Sigma: z = z(x,y) 有一阶连续偏导数，且 P,Q,R 在 \Sigma 上连续，则\oint_{\sum} [P \, dy dz + Q \, dz dx + R \, dx dy] = \pm \iint_{\mathcal{D}_{xy}} [-P \frac{\partial z}{\partial x} - Q \frac{\partial z}{\partial y} + R] \, dx dy
- 高斯公式:
若空间闭区域 \Omega 由有向分片光滑封闭曲面 \Sigma 围成，且 P,Q,R 在 \Omega 上具有一阶连续偏导数，则
\oiint_{\sum} [P dy dz + Q dz dx + R dx dy] = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \, dv
六、空间第二型曲线积分的计算
- 基本方法:设 \Gamma: \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}, t \in [\alpha, \beta]，则\int_{\Gamma} P dx + Q dy + R dz = \int_{\alpha}^{\beta} [P(x(t)) + Q(y(t)) + R(z(t))] \, dt
- 斯托克斯公式:
\oint_{\Gamma} P dx + Q dy + R dz \\= \int\int\begin{vmatrix}dydt & dtdx & dxdy \\\frac{d}{dx} & \frac{d}{dy} & \frac{dxdy}{dz} \\P & Q & R\end{vmatrix}\text{（第二型曲面积分形式）}\\=\iint_{\sum}\begin{vmatrix}\cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial b} \\P & Q & R\end{vmatrix}ds\text{（第一型曲面积分形式）}
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