第十六讲：无穷级数

一、常数项级数的概念与性质

概念：给定一个数列 u_1, u_2, \cdots, u_n, \cdots ，将其各项用加号连起来得到记号

\sum_{n=1}^{\infty} u_n,

称作无穷级数，其中 u_n 叫作该级数的通项。

若 u_n 是常数，则称 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 为常数项无穷级数，简称常数项级数。

记部分和为

S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n,

称 S_n 为级数的部分和，\{S_n\} 为部分和数列。
等比级数

a_n = a q^{n-1}, \quad S_n = \frac{a(1-q^n)}{1-q} \quad (a \neq 0)

S_n = \begin{cases} \text{发散}, & |q| > 1 \\ \text{收敛，其和为 } \frac{a}{1-q}, & |q| < 1 \end{cases}
性质
- ① 考虑级数 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 和 \sum_{n=1}^{\infty} v_n 均收敛，则任意常数 a, b，有
  
  \sum_{n=1}^{\infty} (au_n + bv_n) \text{ 收敛 } \quad (\text{分配律})
  
  \sum_{n=1}^{\infty} (au_n \pm bv_n) = a \sum_{n=1}^{\infty} u_n \pm b \sum_{n=1}^{\infty} v_n
- ② 改变级数任意有限项，不会改变该级数的敛散性。
- ③ 收敛级数的项任意加括号后所得的新级数仍收敛，且其和不变（结合律）。
  - 若 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 收敛，则
    
    \sum_{n=1}^{\infty} (u_{2n-1} + u_{2n}) = (u_1 + u_2) + (u_3 + u_4) + \cdots
    
    也收敛。
  - 若加括号后得到的新级数发散，则原级数必然发散。
- ④ 若 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 收敛，则
  
  \lim_{n \to \infty} u_n = 0

二、级数敛散性的判别方法

正项级数及其敛散性判别
- ① 收敛原则：正项级数 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 收敛的充要条件是它的部分和数列 \{S_n\} 有界。
- ② 比较判别法：
  - 给出两个正项级数 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 和 \sum_{n=1}^{\infty} v_n，如果从某项起有 u_n \leq v_n 成立，则
    - 若 \sum_{n=1}^{\infty} v_n 收敛，则 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 也收敛；
    - 若 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 发散，则 \sum_{n=1}^{\infty} v_n 也发散。
- ③ 比值判别法（极限形式）
  - 给出两个正项级数 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 和 \sum_{n=1}^{\infty} v_n，若 v_n \neq 0 (n = 1, 2, \cdots)，且
    
    \lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = A \quad (u_n, v_n \text{ 都趋于 } 0)
    - 若 A = 0，当 \sum_{n=1}^{\infty} v_n 收敛时，\sum_{n=1}^{\infty} u_n 也收敛；
    - 若 A = +\infty，当 \sum_{n=1}^{\infty} v_n 发散时，\sum_{n=1}^{\infty} u_n 也发散；
    - 若 A = C \neq 0，则具有相同敛散性。
- ④ 比值判别法（达朗贝尔判别法）
  - 给出一个正项级数 \sum_{n=1}^{\infty} u_n，如果
    
    \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = p,
    
    那么- 若 p < 1，则 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 收敛；
    - 若 p > 1，则 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 发散；
    - 若 p 不存在或 p = 1，则无法使用比值判别法。
- ⑤ 根值判别法（柯西判别法）
  - 给出一个正项级数 \sum_{n=1}^{\infty} u_n，如果
    
    \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = p,
    
    那么- 若 p < 1，则 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 收敛；
    - 若 p > 1，则 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 发散；
    - 若 p = 1，则无法判断。
- ⑥ 积分判别法
  - 设 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 为正项级数，若存在 (1, +\infty) 上单调减少的非负连续函数 f(x)，使得 u_n = f(n)，则级数 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 与反常积分 \int_1^{+\infty} f(x) \, dx 的敛散性相同。
交错级数及其敛散性判别
- 若级数各项正负相间出现，则称这样的级数为交错级数，一般为
  
  \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n = u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + \cdots
  
  其中，u_n > 0 (n = 1, 2, \cdots)
- 莱布尼茨判别法
  - 对于交错级数 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n，若 u_n > 0，且 \lim_{n \to \infty} u_n = 0，则该级数收敛。
  - 若 u_n 无单调性，无法推出发散。
任意项级数及其敛散性判别（绝对值审敛法）
- 若级数各项可正、可负、亦可为零，则称这样的级数为任意项级数，写为 \sum_{n=1}^{\infty} u_n。
- 给出任意项级数的每一项加上绝对值，写成 \sum_{n=1}^{\infty} |u_n|，这样就使得 |u_n| \geq 0，成了正项级数。它叫做原级数 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 的绝对值级数。
- 定义 1：设 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 为任意项级数，若 \sum_{n=1}^{\infty} |u_n| 收敛，则称 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 绝对收敛。
- 定义 2：设 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 为任意项级数，若 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 收敛，但 \sum_{n=1}^{\infty} |u_n| 发散，则称 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 条件收敛。
- 注：
  - 若 \sum_{n=1}^{\infty} |u_n| 收敛，则 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 必收敛；
  - 若 \sum_{n=1}^{\infty} u_n，\sum_{n=1}^{\infty} v_n 均绝对收敛，则 \sum_{n=1}^{\infty} (u_n \pm v_n) 也绝对收敛；
  - 若 \sum_{n=1}^{\infty} u_n，\sum_{n=1}^{\infty} v_n 中有一个绝对收敛，另一个条件收敛，则 \sum_{n=1}^{\infty} (u_n \pm v_n) 条件收敛；
  - 若 \sum_{n=1}^{\infty} |u_n| 条件收敛，则 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 可能绝对收敛，也可能条件收敛；
  - 若 \sum_{n=1}^{\infty} |u_n| 发散，则 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 发散；
  - 若 \sum_{n=1}^{\infty} u_n^2 收敛，则 \sum_{n=1}^{\infty} u_n 绝对收敛。
  - 设\sum_{n=1}^\infty u_n 收敛,则\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{u_n}{n}\text{ 不定}

三、幂级数及其收敛域

1. 概念

1.1 函数项级数

设函数列 \{u_n(x)\} 定义在区间 I 上，称 u_1(x) + u_2(x) + \cdots + u_n(x) + \cdots 为定义在区间 I 上的函数项级数，记为 \sum_{n=1}^\infty u_n(x)。当 x 取确定的值 x_0 时，\sum_{n=1}^\infty u_n(x_0) 成为常数项级数 u_n(x_0)。

1.2 幂级数

若 \sum_{n=0}^\infty u_n(x) 的一般项 u_n(x) 是 x 的 n 次幂函数，即 u_n(x) = a_n x^n 或 u_n(x) = a_n (x - x_0)^n，则称 \sum_{n=0}^\infty u_n(x) 为幂级数，其一般形式为：

\sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0)^2 + \cdots,

其中 a_n (n = 0, 1, 2, \dots) 为幂级数的系数。

1.3 收敛点与发散点

若给定 x_0 \in I，有 \sum_{n=0}^\infty u_n(x_0) 收敛，则称点 x_0 为函数项级数 \sum_{n=0}^\infty u_n(x) 的收敛点；否则称为发散点。

1.4 收敛域

幂级数 \sum_{n=0}^\infty u_n(x) 的所有收敛点的集合称为它的收敛域。

2. 阿贝尔定理

当幂级数 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n 在点 x = x_1 (x_1 \neq 0) 处收敛时，对于满足 |x| < |x_1| 的 x，幂级数绝对收敛；对于满足 |x| > |x_1| 的 x，幂级数发散。

3. 收敛半径

若 R > 0 满足条件：① 当 |x| < R 时，\sum_{n=0}^\infty a_n x^n 绝对收敛；② 当 |x| > R 时，\sum_{n=0}^\infty a_n x^n 发散，则称 R 为幂级数 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n 的收敛半径，区间 (-R, R) 为幂级数 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n 的收敛区间。

对于 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n，当 x = 0 时，幂级数总是收敛。

若在 x_1 处条件收敛，则 R = |x_1 - x_0|。

4. 收敛域的求法

1 对于不缺项幂级数 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n

① 收敛半径的求法
若 \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = P 或 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = P，则收敛半径 R = \begin{cases} \frac{1}{P}, & P \neq 0 \text{ 且 } P \neq +\infty \\ +\infty, & P = 0 \\ 0, & P = +\infty \end{cases}。

② 收敛域与收敛半径
判断 x = R 处的收敛性。

2 对于缺项幂级数或一般项级数 \sum_{n=0}^\infty u_n(x)

① 加绝对值，即写成 \sum |u_n(x)|。
② 用正项级数的比值（或根值）判别法，求出收敛区间（令 \lim_{n \to \infty} \frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} < 1或\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|u_{n}\left(x\right)\right|}<1）。
③ 单独讨论端点。

四、幂级数和函数

1. 概念

在收敛域上，记 S(x) = \sum_{n=0}^\infty u_n(x)，并称 S(x) 为 \sum_{n=0}^\infty u_n(x) 的和函数。

2. 运算法则

幂级数 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n 与 \sum_{n=0}^\infty b_n x^n 的收敛半径分别记为 R_a 和 R_b。

k\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}ka_{n}x^{n},|x|<R_{a}
\sum_{n=0}^\infty a_n x^n + \sum_{n=0}^\infty b_n x^n = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) x^n, |x| < \min\{R_a, R_b\}。
\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \cdot \sum_{n=0}^\infty b_n x^n = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right) x^n, |x| < \min\{R_a, R_b\}。

3. 恒等变形方程

通项、下标一起变：\sum_{n=k}^{\infty}a_{n}x^{n}=\sum_{n=k+l}^{\infty}a_{n-l}x^{n-l}
只变下标不变通项：\sum_{n=k}^{\infty}a_{n}x^{n}=a_{k}x^{k}+a_{k+1}x^{k+1}+\cdots+a_{k+l-1}x^{k+l-1}+\sum_{n=k+l}^{\infty}a_{n}x^{n}
只变通项不变下标：\sum_{n=k}^{\infty}a_{n}x^{n}=x^{l}\sum_{n=k}^{\infty}a_{n}x^{n-l}

3.1 直接逐个计算

3.2 利用已知幂级数展开

\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}, \quad -1 < x \leq 1
\arctan x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad -1 \leq x \leq 1
e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}, \quad -\infty < x < +\infty
\frac{e^x + e^{-x}}{2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \quad -\infty < x < +\infty
\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \quad -\infty < x < +\infty
\frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad -\infty < x < +\infty
\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad -\infty < x < +\infty

4. 性质

4.1 幂级数 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n 的和函数 S(x) 在其收敛域 I 上连续

4.2 幂级数 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n 在其收敛域 I 上可积，且有逐项积分公式

\int_0^x S(t) \, dt = \int_0^x \left( \sum_{n=0}^\infty a_n t^n \right) \, dt = \sum_{n=0}^\infty \left( \int_0^x a_n t^n \, dt \right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}.

与原级数有相同的收敛半径，但收敛域可能扩大。

4.3 可导，且有逐项求导公式

S'(x) = \left( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \right)' = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}, \quad |x| < R.

五、函数展开成幂级数

1. 概念

1.1 泰勒级数

1.2 麦克劳林级数

2. 方法

2.1 直接逐个计算

2.2 利用已知幂级数展开

3. 公式

\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}, \quad -1 < x \leq 1
\arctan x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad -1 \leq x \leq 1
e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}, \quad -\infty < x < +\infty
\frac{e^x + e^{-x}}{2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \quad -\infty < x < +\infty
\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \quad -\infty < x < +\infty
\frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad -\infty < x < +\infty
\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad -\infty < x < +\infty

4. 性质

幂级数 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n 的和函数 S(x) 在其收敛域 I 上连续
幂级数 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n 在其收敛域 I 上可积，且有逐项积分公式

\int_0^x S(t) \, dt = \int_0^x \left( \sum_{n=0}^\infty a_n t^n \right) \, dt = \sum_{n=0}^\infty \left( \int_0^x a_n t^n \, dt \right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}

与原级数有相同的收敛半径，但收敛域可能扩大。
可导，且有逐项求导公式

S'(x) = \left( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \right)' = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}, \quad |x| < R

收敛半径相同，收敛域可能变小

5. 重要展开式

e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots, \quad -\infty < x < +\infty
\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + \cdots, \quad |x| < 1
\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + \cdots, \quad |x| < 1
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1
-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}, \quad -1 < x < 1
\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots, \quad -\infty < x < +\infty
\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots, \quad -\infty < x < +\infty
(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \cdots,\quad \begin{cases}x\in(-1,1),\alpha\leq1 \\x\in(-1,1],-1<\alpha<0 \\x\in[-1,1],\alpha>0且\alpha\notin N_{*} \\x\in(-\infty,+\infty),\alpha\in N_{*} &\end{cases}
\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}, \quad -1 < x < 1

六、傅里叶级数

1. 周期为 2L 的傅里叶级数

设函数 f(x) 是周期为 2L 的周期函数，且在 [-L, L] 上可积，则称

a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \cos \frac{n\pi x}{L} \, dx \quad (n = 0, 1, 2, \dots)

b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} \, dx \quad (n = 1, 2, \dots)

为 f(x) 的以 2L 为周期的傅里叶系数。称级数

\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L} \right)

为 f(x) 的以 2L 为周期的傅里叶级数，记作

f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L} \right) = S(x)

2. 狄利克雷收敛定理

设 f(x) 是以 2L 为周期的周期函数，如果在 [-L, L] 上 f(x) 满足：
① 连续或只有有限个第一类间断点；
② 至多只有有限个不可去间断点，
则 f(x) 的傅里叶级数在 [-L, L] 上处处收敛，记其和函数为 S(x)。即

S(x) = \begin{cases} f(x), & x \text{ 连续点} \\ \frac{f(x+0) + f(x-0)}{2}, & x \text{ 间断点} \\ \frac{f(L-0) + f(-L+0)}{2}, & x = \pm L \end{cases}

3. 正弦级数和余弦级数

① 当 f(x) 为奇函数时，其展开式是正弦级数

f(x) \sim \sum_{n=1}^\infty b_n \sin \frac{n\pi x}{L}.

② 当 f(x) 为偶函数时，其展开式是余弦级数

f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos \frac{n\pi x}{L}.

4. 只在 [0, l] 上有定义的函数的正弦级数和余弦级数展开

(1) 周期奇延拓与正弦级数展开

① 周期奇延拓

设 f(x) 定义在 [0, l] 上，令

F(x) = \begin{cases} f(x), & 0 < x \leq l \\ -f(-x), & -l \leq x < 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}

再令 F(x) 以 2l 为周期的周期函数。

② 正弦级数展开

f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \frac{n\pi}{l} x, \quad x \in [0, l]

其中

b_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \sin \frac{n\pi}{l} x \, dx.

(2)周期偶延拓与余弦级数展开

① 周期偶延拓

设 f(x) 定义在 [0, l] 上，令

F(x) = \begin{cases} f(x), & 0 \leq x \leq l \\ f(-x), & -l \leq x < 0 \end{cases}

则 F(x) 为以 2l 为周期的周期函数。

② 余弦级数展开

f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \frac{n\pi}{l} x, \quad x \in [0, l]

其中

a_0 = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \, dx,

a_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \cos \frac{n\pi}{l} x \, dx.

#高等数学

第十六讲：无穷级数

http://localhost:8090//archives/di-shi-liu-jiang-wu-qiong-ji-shu-yi-ji-shu-lian-san-xing

作者

ZephyrSky

发布于

2025年04月09日

许可协议

第十七讲：多元函数积分学的预备知识上一篇

第八讲：一元函数积分学的概念与性质下一篇

第十六讲：无穷级数

第十六讲：无穷级数

一、常数项级数的概念与性质

等比级数

性质

二、级数敛散性的判别方法

正项级数及其敛散性判别

交错级数及其敛散性判别

任意项级数及其敛散性判别（绝对值审敛法）

三、幂级数及其收敛域

1. 概念

1.1 函数项级数

1.2 幂级数

1.3 收敛点与发散点

1.4 收敛域

2. 阿贝尔定理

3. 收敛半径

4. 收敛域的求法

1 对于不缺项幂级数 ​\sum_{n=0}^\infty a_n x^n

2 对于缺项幂级数或一般项级数 ​\sum_{n=0}^\infty u_n(x)

四、幂级数和函数

1. 概念

2. 运算法则

3. 恒等变形方程

3.1 直接逐个计算

3.2 利用已知幂级数展开

4. 性质

4.1 幂级数 ​\sum_{n=0}^\infty a_n x^n 的和函数 ​S(x) 在其收敛域 ​I 上连续

4.2 幂级数 ​\sum_{n=0}^\infty a_n x^n 在其收敛域 ​I 上可积，且有逐项积分公式

4.3 可导，且有逐项求导公式

五、函数展开成幂级数

1. 概念

1.1 泰勒级数

1.2 麦克劳林级数

2. 方法

2.1 直接逐个计算

2.2 利用已知幂级数展开

3. 公式

4. 性质

5. 重要展开式

六、傅里叶级数

1. 周期为 ​2L 的傅里叶级数

2. 狄利克雷收敛定理

3. 正弦级数和余弦级数

4. 只在 ​[0, l] 上有定义的函数的正弦级数和余弦级数展开

(1) 周期奇延拓与正弦级数展开

(2)周期偶延拓与余弦级数展开

1 对于不缺项幂级数 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n

2 对于缺项幂级数或一般项级数 \sum_{n=0}^\infty u_n(x)

4.1 幂级数 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n 的和函数 S(x) 在其收敛域 I 上连续

4.2 幂级数 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n 在其收敛域 I 上可积，且有逐项积分公式

1. 周期为 2L 的傅里叶级数

4. 只在 [0, l] 上有定义的函数的正弦级数和余弦级数展开