第八讲：一元函数积分学的概念与性质

1. 原函数与不定积分

若 ​F'(x) = f(x)，称 ​F(x) 是 ​f(x) 在区间 ​I 上的一个原函数。

称 ​\int f(x) \, dx = F(x) + C 为 ​f(x) 在区间 ​I 上的不定积分。

2. 不定积分（原函数）存在定理

1. 连续函数必有原函数。
2. 含有一类间断点和无间断点的函数 ​f(x) 在包含该间断点的区间内必有原函数​F(x)。

3. 定积分的概念

若函数 ​f(x) 在区间 ​[a, b] 上有界，在 ​(a, b) 上任意取 ​n-1 个分点 ​x_i (​i=1, 2, 3, \dots, n-1)，定义 ​x_0 = a 和 ​x_n = b。令 ​\Delta x_k = x_k - x_{k-1}，​k=1, 2, 3, \dots, n，并选取一点 ​\xi_k \in [x_{k-1}, x_k]，记 ​\lambda = \max_{1 \leq k \leq n} \Delta x_k，若 ​\lambda \to 0 时，极限 ​\lim_{\lambda \to 0} \sum_{k=1}^n f(\xi_k) \Delta x_k 存在且与分点 ​x_k 及点 ​\xi_k 的取法无关，则称 ​f(x) 在区间 ​[a, b] 上可积。

即：

4. 定积分存在定理

无界函数的（常义）可积性：常义指区间上有界，函数有界。

充分条件：

1. ​f(x) 在 ​[a, b] 连续，则 ​\int_a^b f(x) \, dx 存在。
2. ​f(x) 在 ​[a, b] 单调，则 ​\int_a^b f(x) \, dx 存在。
3. ​f(x) 在 ​[a, b] 上有界且只有有限个间断点，则 ​\int_a^b f(x) \, dx 存在。
4. ​f(x) 在 ​[a, b] 上有界且只有有限个第一类间断点，则 ​\int_a^b f(x) \, dx 存在。

必要条件：可积函数必有界。

5. 定积分性质

1. 若 ​a = b，则 ​\int_a^b f(x) \, dx = 0.
2. 若 ​a > b，则 ​\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx.
3. 设 ​a < b，则 ​\int_a^b dx = b - a.
4. ​\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx.
5. 若 ​[a, b] 上 ​f(x) \geq g(x)，则 ​\int_a^b f(x) \, dx \geq \int_a^b g(x) \, dx.
6. ​|\int_a^b f(x) \, dx| \leq \int_a^b |f(x)| \, dx.
7. ​M, m 分别是 ​f(x) 在 ​[a, b] 上的最大、最小值，则 ​m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b-a).

中值定理：若 ​f(x) 在 ​[a, b] 连续，则 ​\exists \xi \in [a, b]，​\int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b-a).

6. 变限积分

当 ​x 在 ​[a, b] 上变动时，对于每一个 ​x 值，积分 ​\int_a^x f(t) \, dt 都有一个确定的值，因此 ​\int_a^x f(t) \, dt 是一个关于 ​x 的函数，记作 ​F(x) = \int_a^x f(t) \, dt (​a \leq x \leq b). 称为变限积分。

7. 变限积分性质

1. 若 ​f(x) 在 ​[a, b] 上可积，则 ​F(x) = \int_a^x f(t) \, dt 在 ​[a, b] 上连续。
2. 若 ​f(x) 在 ​[a, b] 连续，则 ​F(x) 可导，且 ​F'(x) = f(x)。
3. 若 ​x_0 是唯一跳跃间断点，则 ​F(x) 在 ​x_0 处不可导。
4. 若 ​x_0 是唯一可去间断点，则 ​F(x) 在 ​x_0 处可导。

8. 反常积分

两个积分均收敛，则反常积分收敛；否则发散。

必须同时收敛（​\int_{-\infty}^{\infty} x^3 \, dx 发散）。

9. 无界函数的反常积分的极限与敛散性

瑕点：​f(x) 在 ​[a, b] 的邻域内无界的点。

1. ​x = a 唯一断点：

   \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - \lim_{x \to a^+} F(x), \quad \text{极限存在时收敛}.

2. ​x = b唯一断点：

   \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{x \to b^-} F(x) - F(a).\quad \text{极限存在时收敛}.

3. ​x = c \in (a, b)：

   \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx \quad (\text{均存在则收敛}).

比较判别法

​f(x), g(x) 在 ​[0, +\infty) 连续，且 ​0 < f(x) \leq g(x) (​a \leq x < +\infty).

1. ​\int_a^\infty g(x) \, dx 收敛，则 ​\int_a^\infty f(x) \, dx 收敛。
2. ​\int_a^\infty f(x) 发散，则 ​\int_a^\infty g(x) 发散。

比较判别法的极限形式

设 ​\lambda = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} 存在且为有限数或 ​\infty.

1. ​\lambda = \text{不为0常数} 为有限数，​\int_a^\infty f(x) \, dx 和 ​\int_a^\infty g(x) \, dx 同敛散。
2. ​\lambda = 0 同比较判别法1。
3. ​\lambda = \infty 同比较判别法2。

补充：