第六讲：中值定理、微分等式与微分不等式

1. 中值定理

设 ​ f(x) 在 ​[a, b] 上连续。

• 有界与最值定理：​ m \leq f(x) \leq M ，其中 ​ m, M 分别为 ​ f(x) 在 ​[a, b] 上的最小值和最大值。
• 介值定理：当 ​ m \le u\le M 时，存在 ​ \xi \in [a, b] ，使得 ​ f(\xi) = u 。
• 平均值定理：当 ​ x_i \in (a, b) (​ i = 1, 2, \dots, n )，且 ​ x_i < x_{i+1} ，在 ​[x_1, x_n] 存在一点 ​ \xi ，使得
  f(\xi) = \frac{1}{n} \left( f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n) \right).
• 零点定理：当 ​ f(a) \cdot f(b) < 0 时，存在 ​ \xi \in (a, b) ，使得 ​ f(\xi) = 0 .

2. 涉及导数的中值定理

• 费马定理：设 ​ f(x) 在点 ​ x_0 处满足：​\begin{cases}\text{可导} \\\text{取极值}\end{cases}，则 ​ f'(x_0) = 0 .
• 导数零点定理：若 ​ f(x) 在 ​[a, b] 可导，当 ​ f'_{+}(a) \cdot f'_{-}(b) < 0 ，则存在 ​ \xi \in (a, b) ，使得 ​ f'(\xi) = 0 .
• 罗尔定理：若 ​ f(x) 满足：​\begin{cases}f(x) \text{ 在 } [a, b] \text{ 上连续} \\f(x) \text{ 在 } (a, b) \text{ 上可导} \\f(a) = f(b)\end{cases}，则存在 ​ \xi \in (a, b) ，使得 ​ f'(\xi) = 0 .
• 拉格朗日中值定理：若 ​ f(x) 满足：
  ​\begin{cases}f(x) \text{ 在 } [a, b] \text{ 上连续}, \\f(x) \text{ 在 } (a, b) \text{ 上可导},\end{cases}，则存在 ​ \xi \in (a, b) ，使得​f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a).
• 柯西中值定理：若 ​ f(x), g(x) 满足：​\begin{cases}f(x), g(x) \text{ 在 } [a, b] \text{ 上连续} \\f(x), g(x) \text{ 在 } (a, b) \text{ 上可导} \\g'(x) \neq 0\end{cases}，则存在 ​ \xi \in (a, b) ，使得​\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.

3. 泰勒公式

• 拉格朗日型 ​ n 阶泰勒公式（​ \xi 介于 ​ x, x_0 之间）：
  f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \cdots + \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}.
• 带佩亚诺余项的：
  f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \cdots + \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n).

4. 微分等式

• 零点定理：​ f(x) 在 ​[a, b] 连续，若 ​ f(a) \cdot f(b) < 0 ，则 ​ f(x) = 0 在 ​(a, b) 内至少有一个根。
• 单调性：若 ​ f(x) 在 ​(a, b) 内单调，则 ​ f(x) = 0 在 ​(a, b) 内至多一个根。（​(a, b) 可以是无穷区间）
• 罗尔定理推论：
  • 若 ​ f(x) = 0 有 ​ n 个根，则 ​ f^{(n-1)}(x) = 0 至少有 ​ n-1 个根。
  • 若 ​ f^{(n)}(x) = 0 至多有 ​ k 个根，则 ​ f(x) = 0 至多有 ​ k+n 个根。

5. 微分不等式

• 若 ​ f''(x) > 0 ，​ x \in (a, b) ，​ f(a) = f(b) = 0 ，则 ​ f(x) < 0 （凹性）。
• 若 ​ f''(x) < 0 ，​ x \in (a, b) ，​ f(a) = f(b) = 0 ，则 ​ f(x) > 0 （凸性）。