第二讲：数列极限
第二讲：数列极限
1. 数列的概念
对于每个 n \in \mathbb{N} ，如果按照某一法则，对应着一个确定的实数 x ，得到一个序列 x_1, x_2, \ldots, x_n 。
- 简记为数列 \{x_n\} 。
- 第 n 项 x_n 叫做数列的一般项（或通项）。
子列
从数列 \{u_n\} 中选取无限多项，并按原来的先后顺序组成新的数列，称新数列为原数列的子列。
记为 \{u_{n_k}\} = u_{n_1}, u_{n_2}, u_{n_3}, \ldots
等比数列前 n 项和
S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}
公式
\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}
2. 数列极限的定义
\{u_n\} 为一数列，若存在常数 a ，对于任意 \varepsilon > 0 ，总存在正整数 N ，当 n > N 时，有 |u_n - a| < \varepsilon ，则称常数 a 是数列 \{x_n\} 的极限。称数列 \{x_n\} 收敛于 a ，记为
\lim_{n \to \infty} x_n = a \quad \text{或} \quad x_n \to a \ (n \to \infty)
如果不存在这样的 a ，则称 \{x_n\} 是发散的。
性质
-
唯一性：若 \{x_n\} 收敛，则收敛值唯一。
-
有界性：若 \{x_n\} 极限存在，则 \{x_n\} 有界。
-
保号性：设 \lim_{n \to \infty} x_n = a > 0 ，则存在 N > 0 ，当 n > N 时，有 x_n > b 。
若 \{x_n\} 从某项起有 x_n > b ，且 \lim_{n \to \infty} x_n = a ，则 a > b 。
3. 极限四则运算规则
若 \lim_{n \to \infty} x_n = a ， \lim_{n \to \infty} y_n = b ，则
\lim_{n \to \infty} (x_n \pm y_n) = a \pm b （乘除同理）
4. 海涅定理（归结原则）
f(x) 在 x_0 去心邻域内有定义，
\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \text{对于任何 } x_0 \text{ 的去心邻域内以 } x_0 \text{ 为极限的数列 } \{x_n\} \ (x_n \neq x_0)
极限必有 f(x) = A
重点在于极限存在。
5. 夹逼准则
若数列 \{x_n\} ， \{y_n\} ， \{z_n\} 满足下列条件：
- 从某项起，存在 n_0 \in \mathbb{N}_+ ，当 n > n_0 时， y_n \leq x_n \leq z_n 。
- \lim_{n \to \infty} y_n = a ， \lim_{n \to \infty} z_n = a 。
则 \{x_n\} 极限存在，且 \lim_{n \to \infty} x_n = a 。
不等式性质
|a_1 + a_2 + \cdots + a_n| \leq |a_1| + |a_2| + |a_3| + \cdots + |a_n|
||a| - |b|| \leq |a - b|
\sqrt[3]{abc} \leq \frac{a + b + c}{3} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3}}
6. 压缩映射原理（简化版）
对于数列 \{x_n\} ，若存在 k (0 < k < 1) ，使得 |x_{n+1} - a| \leq k|x_n - a| ，则 \{x_n\} 收敛于 a 。
对于数列 \{x_n\} ，若 x_{n+1} = f(x_n) ， n = 1, 2, \ldots ， f'(x) 导， a 是 f(x) = x 的解，且对任意 x \in K ，有 |f'(x)| < 1 ，即 \{x_n\} 收敛于 a 。
7. 单调有界
若 \{x_n\} 单调增加，有上界，则 \lim_{n \to \infty} x_n 存在。
若 \{x_n\} 单调减少，有下界，则 \lim_{n \to \infty} x_n 存在。
判断单调性
x_{n+1} - x_n \text{ 与 } x_n - x_{n-1} \text{ 同号，} \{x_n\} \text{ 单调。}