第四讲：一元函数微分学的计算

1. 基本求导公式

• ​(a^x)' = \ln a \cdot a^x
• ​(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}
• ​(\ln x)' = \frac{1}{x}
• ​(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
• ​(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
• ​(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}
• ​(\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1+x^2}
• ​(\tan x)' = \sec^2 x
• ​(\cot x)' = -\csc^2 x
• ​(\sec x)' = \sec x \tan x
• ​(\csc x)' = -\csc x \cot x
• ​\left(\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2})\right)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}
• ​\left(\ln(x + \sqrt{x^2 - a^2})\right)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}

2. 四则运算

• ​d[u(x) \pm v(x)] = d[u(x)] \pm d[v(x)]
• ​d[u(x)v(x)] = u(x)d[v(x)] + v(x)d[u(x)]

3. 复合函数的导数（链式法则）

• ​\left(f[g(x)]\right)' = f'[g(x)] \cdot g'(x)

4. 分段函数的导数

• 分段点 ​x_0，用定义求导：

  f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
  f'_-(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

  判断是否可导。

5. 反函数的导数

• 设 ​f(x) 单调可导，且 ​f(x) = y，则存在反函数 ​x = \varphi(y)，且：

  \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{f'(x)}
  x_y' = \frac{1}{y_x'}
  x_{yy}' = -\frac{y_{xx}'}{(y_x')^2}

6. 隐函数求导

• 设 ​y = y(x) 由方程 ​F(x, y) = 0 确定的导数。
• 方法：
  1. 方程 ​F(x, y) = 0 两边对自变量 ​x 求导。
  2. 解出 ​y'。

7. 参数方程求导

• 设参数方程为：

  \begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}

  其中 ​\varphi(t), \psi(t) 均可导。

• 则：

  \frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} = \frac{dy/dt}{dx/dt}

8. 莱布尼茨公式

• 对于两个函数的乘积的高阶导数：
  (uv)^{(n)} = \sum_{i=0}^n C_n^i u^{(i)} v^{(n-i)}